Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 à Cambridge. Il est connu comme le père de la géométrie fractale.

Benoît Mandelbrot le 14 mars 2007 à l'EPFL.

Citations

Les objets fractales, 1975

Une hiérarchie est régulière, si les membres sont répartis en niveaux, de telle façon que, sauf au niveau le plus bas, chaque membre a le même nombre N de subordonnées. Et que ces derniers ont tous le même "poids" U, égal à r fois le poids de leur supérieur immédiat. Le plus commode est de penser au poids comme étant un salaire (...) Quelque soit le degré d'inégalité D, le nombre de niveaux hiérarchiques croît comme le logarithme du nombre total des membres de la hiérarchie. Si l'on tient à diviser ceux-ci en deux classes, le nombre de membres de la classe supérieure sera proportionnel à la racine carrée du nombre total. Il y a maintes façons de déduire cette "règle de la racine carrée". On l'a, par exemple, associée au nombre idéal des représentants que diverses communautés devraient envoyer à un parlement auquel elles participent.

• Sur l'inégalité dans une hiérarchie équitable.

• Les objets fractales (1975), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 1995, 4^e édition  (ISBN 2-08-081301-3), p. 151 et 152

Fractales, hasard et finance, 1997

« Buisson d’or », Muséum national d'histoire naturelle.

Enfin, j'espère qu'on trouvera symbolique que la substance du buisson illustrant la couverture soit de l'or presque pur, plus qu'à moitié dégagé du quartz blanc dans lequel il était enrobé lors de sa récente découverte en Californie.

• Détail important : comme dans toute fractale réelle (par opposition aux constructions mathématiques), lesdits éléments caractéristiques ont une borne inférieure et une borne supérieure.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 2

Avant de s'engager dans l'ingénierie financière et ses « produits dérivés », il s'impose d'abord de « s'assurer bien du fait ». J'admire cette explication et ne sais que trop bien que, chez beaucoup de physiciens, la satisfaction que peut inspirer la découverte de la fractalité dans tant de domaines divers est tempérée dans beaucoup de cas par les lenteurs de l'explication. Cette déception s'étend à la finance et je la partage pleinement.

• Mandelbrot croit fortement à la sagesse du conseil de Fontenelle que voici : Assurons-nous bien du fait, avant que de nous inquiéter de la cause. Il est vrai que cette méthode est bien plus lente pour la plupart des gens, qui courent naturellement à la cause, et passent par dessus la vérité du fait ; mais enfin, nous éviterons le ridicule d'avoir trouvé la cause de ce qui n'est point.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 9

La variété des phénomènes naturels et sociaux est infinie, les techniques mathématiques susceptibles de les dompter, fort peu nombreuses; aussi arrive-t-il que des phénomènes qui n’ont rien de commun partagent la même structure mathématique.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), chap. 2.1. Du hasard bénin au hasard sauvage, p. 58

• Citation choisie pour le 13 juillet 2021.

Le maximum de simplicité est atteint comme suit. Le temps boursier est multifractal non récursif ; quant au processus, lorsqu'il est suivi en temps boursier, c'est, tout simplement, le mouvement brownien, soit ordinaire, soit fractionnaire.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 191

L'essentiel est que la loi de Zipf est de la forme suivante : "quelque chose" est l'inverse de "quelque chose d'autre"... Shannon a également montré que - de même que le degré de structure d'un système de molécules peut se décrire (a contrario) par une mesure de degré de désordre appelée "entropie" - de même le degré de structure d'un système de signaux peut se décrire par une mesure de degré de désordre, appelée "quantité d'information".

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 193 et 198

Le mot le plus fréquent reçoit le rang 1 ; c'est en général "le", mais quelquefois "je". Le mot de rang 2 est le mot qui devient le plus fréquent une fois négligées les répétitions du mot de rang 1... Selon la deuxième approximation de la loi dite « de Zipf-Mandelbrot », la fréquence des mots serait la même pour tout auteur, indépendamment de la langue utilisée. En plus, dans les langues telles que le français, plusieurs mots, parmi les plus fréquents, sont aussi les plus mal définis. Selon que l'on compte « le » et « l' » comme un ou deux mots différents, la distribution change.

• En première approximation de la loi de Zipf, la fréquence est inversement proportionnelle à dix fois. Mandelbrot précise que le chiffre 10 n'a aucune connexion avec le système décimal, et malgré sa simplicité, le facteur 1/10 est purement empirique.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot (trad. Benoît Mandelbrot), éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 202 et 203

Cette loi correspond au « moindre nombre de lettres »… qui insiste sur l'optimalité de la statistique des mots par rapport au problème.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot (trad. Benoît Mandelbrot), éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 211

Ceci va dans le sens des expériences psychologiques qui suggèrent que les mots sont perçus, non pas comme des suites de lettres isolées, mais comme blocs. Entre deux codages des mots, dans le cerveau et au moyen des lettres, le seul élément commun serait le blanc... Les fréquences seront dites « optimales » si elles exigent le plus petit nombre moyen de lettres par mot, pour une information...

• Deuxième déduction : fréquences optimales.

• Fractales, hasard et finance (1997), Benoît Mandelbrot (trad. Benoît Mandelbrot), éd. Flammarion, 2009  (ISBN 978-2-0812-2510-7), p. 216

Une approche fractale des marchés, 2005

Dans un monde toujours plus complexe, les scientifiques ont besoin des deux outils : des images aussi bien que des nombres, de la vision géométrique aussi bien que de la vision analytique.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 14

Les théories standard enseignées dans les business school évaluent la probabilité de l'effondrement du 31 août 1998 à un pour 20 millions, un événement censé n'arriver qu'une fois tous les 100 000 ans… En juillet 2002, l'indice avait enregistré trois décrochages en sept jours consécutifs d'activité (probabilité : une sur 4000 milliards). Et le 19 octobre 1987, la pire journée boursière depuis au moins un siècle, l'indice avait décroché de 29,2%. La probabilité de cet événement, si l'on se fie aux calculs des théoriciens de la finance, est inférieure à une sur 10 puissance 50.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 22

Depuis plus d'un siècle, les financiers et les économistes se sont efforcés d'analyser le risque dans les marchés financiers, de l'expliquer, de le quantifier et, en définitive, d'en tirer un bénéfice. Ma conviction est que la route suivie par la plupart des théoriciens est mauvaise et qu'elle conduit à une grave sous-estimation des risques de ruine financière dans une économie de marché libre et globale.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 23

C'est également une loi de puissance qui détermine les variations de cours positives ou négatives de beaucoup d'instruments financiers.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 32

Warren Buffet aimait à dire en plaisantant qu'il subventionnerait volontiers des chaires universitaires sur l'hypothèse d'efficience des marchés, afin que les professeurs forment toujours plus de financiers mal avisés qu'il pourrait ainsi plumer. Aucun des partisans de la théorie orthodoxe n'a jamais admis avoir eu tort, quels que soient les milliers d'étudiants auxquels ils ont enseigné des choses fausses… Apparemment, la répugnance à se rétracter n'est pas [l'apanage des seuls] théologiens.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 33

Sharpe posa une question à Markovitz : que se passe-t'il si tout le monde sur le marché se met à jouer selon ces règles ? La réponse fut étonnante : dans ce cas, il n'y aurait pas autant de portefeuilles efficients que d'acteurs sur le marché, mais un portefeuille pour tous.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 89

Comme le note James, il y a une grande différence entre repérer des veines aurifères dans les relevés de cours passés, et extraire de l'or bien réel des marchés actuels… Mais clairement, les professionnels du marché ont voté : plus de la moitié des spéculateurs en devises jouent une sorte de jeu consistant à suivre la tendance.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 104

• Citation choisie pour le 7 mars 2014.

La finance réclame quant à elle une classe différente de fractales baptisées auto-affines, ce qui veut dire que la mise à l'échelle s'effectue plus rapidement horizontalement que verticalement.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 157

A cette époque, il n'était pas facile de trouver des historiques fiables du cours d'un titre ou d'une matière première couvrant de longues périodes. Cependant le coton constituait une exception. Depuis plus d'un siècle, la bourse du coton de New-York avait tenu des relevés quotidiens exacts… La presque totalité des échanges entre états était centralisée sur une seule place boursière.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 166

Contrairement à la courbe en cloche, le diagramme de Pareto en 1909 sur la distribution des richesses - quels que soient la société humaine, l'époque ou le pays - montre que la courbe des revenus n'est pas symétrique : la société n'est pas une "pyramide sociale" mais ressemble beaucoup plus à une "flèche sociale" - très large en bas où la grande masse des gens vivent, et très fine au sommet où siège l'élite fortunée. C'est, écrivit-il, une loi sociale : quelque chose "d'inhérent à la nature de l'homme".

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 174

Bien que s'exprimant au travers d'une équation claire, cette constatation apparut dure et darwinienne aux yeux de Pareto. Dans le bas de la courbe de richesse, nota-t-il, les hommes et femmes souffrent de la faim et les enfants meurent en bas âge. Le large milieu de la courbe est fait de remous et de mouvements : les gens montent et descendent, s'élevant par leur talent ou par la chance, tombant à cause de l'alcoolisme, de la tuberculose ou quelque autre forme d'inadaptation. Tout en haut, dans la partie très fine se situe l'élite qui contrôle la richesse et la puissance pendant un temps - jusqu'à ce que ses représentants en soient éjectés par une révolution ou l'avènement d'une nouvelle classe aristocratique. Le progrès n'existe pas dans l'histoire de l'humanité. La démocratie est une supercherie. La nature humaine est primitive, émotionnelle, inflexible. Les plus intelligents, les plus aptes, les plus forts et les plus rusés se taillent la part du lion. Les faibles meurent de faim, sauf à faire dégénérer la société : on peut, écrivit Pareto, comparer le corps social au corps humain, qui périrait promptement si on l'empêchait d'éliminer les toxines. A sa mort en 1923, les facistes italiens le béatifiaient, les républicains le diabolisaient.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 175

La plupart des économistes passaient sous silence le déplaisant sujet de sa courbe de revenus. Pour moi, la formule de Pareto était une merveille.
Il avait regroupé les gens par revenus, compté leur nombre dans chaque tranche, et avait ensuite tracé le résultat variant selon une loi de puissance bien commode : la pente vaut 2. (...) Alpha, le nom que Pareto donna à la valeur absolue de cette pente, valait 3/2 : cela signifie que la plupart des richesses sont concentrés dans les mains d'un très petit nombre. A titre d'illustration, 0,003% d'une population sociale gagnent un millier de fois plus que le salaire minimum (SMIC horaire américain) !

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 176 à 178

La probabilité conditionnelle de gagner un milliard de dollars sachant que vous possédez un demi-milliard est la même que celle de gagner un million de dollars si vous en possédez déjà un demi-million. L'argent va à l'argent, la puissance à la puissance. Injuste, peut-être, mais vrai - à la fois socialement et mathématiquement.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 178

• Citation choisie pour le 14 avril 2014.

En fait, stable signifie que vous pouvez réaliser une opération sur un objet — par exemple, le tourner, le réduire, ou l'additionner à quelque chose d'autre — sans que ses propriétés de base en soient altérées.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 181

Résumons : la famille démarre avec les parents. Le père prend le temps d'horloge et le transforme en temps boursier. La mère prend le temps d'horloge et le transforme en prix. Combinés ensemble, le bébé prend le temps boursier du père et le convertit en un prix selon les règles fournies par la mère… Et une belle métaphore pour notre époque, quelque cinquante ans après la découverte de la double hélice : chaque parent contribue pour moitié aux chromosomes du bébé.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 235

Considérons le problème de l'énigme de la prime de risque sur actions, un pont aux ânes depuis sa découverte il y a vingt ans par deux jeunes économistes, Rajnish Mehra et Edward C. Prescott. Pourquoi les actions récompensent-elles en moyenne leurs investisseurs si généreusement ? Les données montrent que, sur l'ensemble du XXème siècle, les actions ont rapporté une prime de rentabilité massive comparée à celles d'investissements réputés plus sûrs comme les bons du Trésor américain. Les estimations, corrigées de l'inflation, de cette prime varient selon les dates entre 4,1% et 8,4%… Tous supposaient en effet que la notion de performance « moyenne » d'un marché boursier avait un sens pour un individu réel ; or, en fait, ce sont les valeurs extrêmes des bénéfices et des pertes qui comptent le plus.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 254 et 255

Une recommandation typique d'un agent de change, fondée sur la théorie du portefeuille de Markovitz-Sharpe, consisterait à placer 25% de votre fortune en liquide, 30% en obligations et 45% en actions. Mais d'après une étude de l'OCDE, la plupart des gens ne font pas ce choix. Ainsi, les maisons de courtage japonaises conservent 53% de leurs actifs financiers en liquide et à peine 8% en actions. Les européens conservent 28% en liquide et 13% en actions. Quant aux américains, leur répartition est de 13% en liquide et 33% en actions. En effet, contrairement à un agent de change, la plupart des investisseurs ne s'intéressent pas à la rentabilité moyenne. Pour eux, les catastrophes rares, hors norme, importent bien plus.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 255

Selon le modèle standard de la finance, dans lequel les variations de cours se distribuent sur une courbe en cloche, les probabilités de ruine sont d'environ 10 puissance moins 20. Traduction : une chance sur cent milliards de milliards… Mais si les prix varient de manière sauvage, comme je l'ai démontré dans le cas du marché du coton, alors les risques de ruine grimpent en flèche : ils sont, dans ce cas, de l'ordre de un pour dix ou de un pour trente.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 256

De 1986 à 2003, le dollar a connu une longue et chaotique descente face au yen japonais. Mais pratiquement la moitié de ce déclin s'est produit en seulement dix des 4695 jours de cotation. En d'autres termes, 46% du dommage causé aux investisseurs en dollars s'est opérés pendant 0,21% des journées. Des statistiques similaires s'appliquent à d'autres marchés…

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 258

Il ne fait pas de doute que les prix financiers bondissent et sautent — à la hausse et à la baisse. En fait, je prétends que la capacité à faire des bonds, autrement dit la discontinuité, est la principale différence conceptuelle entre l'économie et la physique classique… Ces variations sont particulièrement remarquables à notre ère de l'information et de sa diffusion instantanée via la télévision, Internet et les écrans des salles de marchés.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 261

Il existe dans un marché, d'après moi, une vie interne spontanée, une activité inhérente qui provient de la manière dont les gens interagissent, dont ils s'organisent en banques et maisons de courtages, et dont ils effectuent leurs transactions de capitaux.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 266

Si vous pouvez mettre en évidence certaines propriétés du marché qui demeurent constantes dans le temps ou l'espace, vous pourrez élaborer de meilleurs modèles, plus utilisables, et prendre des décisions financières plus sensées. Mon modèle multifractal n'a besoin pour fonctionner que d'un ensemble de paramètres cohérents.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 267

L'une des théories les plus controversées concernant le cycle économique global présente justement un rythme ternaire. En 1925, l'économiste russe Dmitrievich Kondratieff postula l'existence de « vagues longues » de croissance et de déclin dans les grandes économies occidentales. Chaque vague durait en moyenne cinquante-quatre ans, la première ayant commencé dans les années 1780 et, prédisait-il, la troisième devant se terminer dans les années 1940… mais j'observe qu'il est facile de voir une structure en vague ternaire, longue de cinquante ans, émerger d'un siècle et demi de données. Le fait de lui attribuer une signification économique en dit peut être plus sur le fonctionnement de nos esprits que sur le fonctionnement des leviers de production et de la croissance.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 271

Le serment d'Hippocrate demande au médecin de ne pas causer de tort. En finance, je pense que les modèles conventionnels et leurs « corrections » les plus récentes violent ce serment.

• Une approche fractale des marchés : risquer, perdre et gagner, Benoît Mandelbrot et Richard L. Hudson, éd. Odile Jacob, 2005  (ISBN 2738115365), p. 304

La forme d’une vie : mémoires, 2014

• La forme d’une vie : mémoires 1924-2010, Benoît Mandelbrot, éd. Flammarion, 2014  (ISBN 978-2-0812-2036-2), p. …

Entretiens

L'interdisciplinarité est rarement viable. Quand elle est intellectuellement possible, et c'est rare, elle est pénible à vivre. Or il y a des intuitions fécondes qui ne naîtront jamais que dans l'interdisciplinarité... […]
Même si l'essentiel est de comprendre, le chemin qu'on utilise pour y parvenir a son importance. Celui qui m'a mené aux fractales paraît bizarre. Mais j'ai vécu cette succession : étude de la bourse, des rivières, de la côte de Bretagne, puis étude des galaxies, des montagnes, des nuages, et enfin retour aux mathématiques, comme un parcours décrivant une orbite de moindre résistance. Je crains que les résistances en question ne soient maintenant devenues bien plus fortes...

• « Comment j’ai découvert les fractales », Propos recueillis par Marc Lesort, La recherche, 1986 (lire en ligne)

Lorsque les dessins de ces ensembles de Julia et Fatou sont apparus pour la première fois sur mon écran d'ordinateur, j'ai été frappé, non seulement par leur insondable complexité, mais aussi par leur extraordinaire beauté.

• extrait d'un entretien recueilli en 2008 par Philippe Pajot pour son ouvrage Parcours de mathématiciens (Editions du Cavalier bleu, 2011)

• « Benoît Mandelbrot, père de la géométrie fractale », Philippe Pajot, Le Monde, 20 mai 2014 (lire en ligne)

Citation sur Benoît Mandelbrot

Ian Stewart, L'univers des nombres, 2000

Le concept actuel sur les scalants est celui des fractales de Mandelbrot ; en effet, la numérologie de la nature est gouvernée par une certaine fractale. Les données observées dans la nature par la loi de Benford résultent de son chaos dynamique sous-jacent.

• L'univers des nombres, Ian Stewart, éd. Belin, 2000, p. 61